Question

9．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；
（2）由△APD≌△CPD判断出△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA得到$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，再等量代换即可．

解答 （1）证明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADP=CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD；
（2）证明：由（1）△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF，
∴△APE∽△FPA
（3）解：线段PC、PE、PF之间的关系是：PC²=PE•PF，
∵△APE∽△FPA，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，
∴PA²=PE•PF，
又∵PC=PA，
∴PC²=PE•PF．

点评 本题是相似图形的性质和判定，主要考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，解本题的关键是找到相似的三角形．