将两张完全相同的平行四边形纸片按如图1所示放置(其中点E在BC上.点A在BG上.AB=BE=4.BC=BG=$2\sqrt{3}+2$.∠B=60°).?ABCD固定不动.将?GBEF绕点B顺时针旋转.旋转角为a．(1)如图1.连接AF.求AF的长．(2)如图2.当?GBEF绕点B旋转到点F与点D重合时.AD与BG相交于点M.BC与ED相交于点N.求证:四边形BMDN是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．将两张完全相同的平行四边形纸片按如图1所示放置（其中点E在BC上，点A在BG上，AB=BE=4，BC=BG=$2\sqrt{3}+2$，∠B=60°），?ABCD固定不动，将?GBEF绕点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°）．
（1）如图1，连接AF，求AF的长．
（2）如图2，当?GBEF绕点B旋转到点F与点D重合时，AD与BG相交于点M，BC与ED相交于点N，求证：四边形BMDN是菱形．
（3）如图3，在旋转过程中，当旋转角a为多少度时，以点C，G，D，F为顶点的四边形是正方形？是矩形？请给予证明．

分析（1）如图1中，作FK⊥BG于K．在Rt∠GFK中，易知FG=4，∠FGK=60°，推出GK=$\frac{1}{2}$FG=2，FK=2$\sqrt{3}$，在Rt△AKF中，构建AF=$\sqrt{A{K}^{2}+K{F}^{2}}$计算即可；
（2）首先证明四边形BMDN是平行四边形，由△ABM≌△GDM，推出BM=DM即可证明；
（3）①如图3中，α=30°时，四边形DGCF是正方形．只要证明OG=OF=OD=OC，CD⊥GF即可；②如图4中，当α=300°时，四边形DCGF是矩形，首先证明四边形DCGF是平行四边形，再证明∠GCD=90°即可；

解答解：（1）如图1中，作FK⊥BG于K．

∵BG=2$\sqrt{3}$+2，BA=4，
∴AG=BG-AB=2$\sqrt{3}$-2，
在Rt∠GFK中，易知FG=4，∠FGK=60°，
∴∠GFK=90°-60°=30°，
∴GK=$\frac{1}{2}$FG=2，FK=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AKF中，AF=$\sqrt{A{K}^{2}+K{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

（2）如图2中，

∵BG∥DE，DM∥BC，
∴四边形BMDN是平行四边形，
在△ABM和△DGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠G}\\{∠AMB=∠GMD}\\{AB=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△GDM，
∴BM=DM，
∴四边形BMDN是菱形．

（3）①如图3中，α=30°时，四边形DGCF是正方形．

理由：设GF与CD交于点O，连接OB交CG于K，在BK上取一点M，使得BM=GM，设BM=MG=x．
∵∠ABG=∠GBC=30°，BG=BC，
∴∠BGC=∠BCG=75°，
∵∠BGF=∠BCD=120°，
∴∠OGC=∠OCG=45°，
∴OG=OC，FG⊥CD，
∵BG=BC，BO=BO，GO=CO，
∴△BOG≌△BOC，
∴∠OBG=∠OBC=15°，
∵BM=MG，
∴∠MBG=∠NGB=15°，
∴∠GMK=30°，
设GK=x，则BM=MG=2x，MK=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BGK中，（2$\sqrt{3}$+2）²=x²+（$\sqrt{3}$x+2x）²，
解得x=$\sqrt{2}$，
∵BG=BC，OG=OC，
∴OB⊥CG，
∴GK=KC=$\sqrt{2}$，
∴OC=OG=2=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$GF，
∴CD=FG，OG=OF=OD=OC，
∴四边形DGCF是平行四边形，
∵HF=CD，
∴四边形DGCF是矩形，
∵GF⊥CD，
∴四边形DGCF是正方形．

②如图4中，当α=300°时，四边形DCGF是矩形．

理由：∵AB=FG=CD，AB∥FG∥CD，
∴四边形DCGF是平行四边形，
∵BG=BC，∠MBG=∠MBC=60°，
∴∠CBG=120°，∠BGC=∠BCG=30°，
∵∠BCD=120°，
∴∠GCD=120°-30°=90°，
∴四边形DCGF是矩形．