Question

5．如图，菱形ABCD，BC∥x轴，A，B两点纵坐标分别为3和1，且菱形ABCD的面积为4$\sqrt{2}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过A、B两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，连OP，PE∥x轴，点F在x轴上，且OP=EF，PM⊥x轴于M点，PE=2OM，求S_{四边形OPEF}；
（3）设t=OM+PM，求t的最小值，并求此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B的坐标，得出AB，由菱形的性质得出AD=AB，最后用菱形的面积建立方程求解即可；
（2）先设出点P的坐标，进而得出OM，PM，PE，再判断出四边形OPEF是等腰梯形，最后用等腰梯形的面积公式即可得出结论；
（3）先设出点P的坐标，得出t，进而判断出|n|=|$\frac{k}{n}$|时，t最小即可得出结论．

解答 解：（1）∵A，B两点纵坐标分别为3和1，且在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴A（$\frac{k}{3}$，3），B（k，1），
∴AB=$\sqrt{（\frac{k}{3}-k）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{k}^{2}+9}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{k}^{2}+9}$，
∵菱形ABCD的面积为4$\sqrt{2}$，
∴AD×2=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{k}^{2}+9}$×2=4$\sqrt{2}$，
∴k=-3或k=3；

（2）∵反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
设P（m，$\frac{k}{m}$），
∴OM=|m|，PM=|$\frac{3}{m}$|，
∴PE=2OM=2|m|，
∵PE∥x轴，PE≠OF，OP=EF，
∴四边形OPEF是等腰梯形，
∴S_{四边形OPEF}=$\frac{1}{2}$（PE+OF）•PM=$\frac{1}{2}$（2OM+OM+2OM+OM）•PM=3OM•PM=3×|m|×|$\frac{k}{m}$|=3|k|，
由（1）知，k=±3，S_{四边形OPEF}=9；

（3）设P（n，$\frac{k}{n}$），
∴OM=|n|，PM=|$\frac{k}{n}$|，
∴t=OM+PM=|n|+|$\frac{k}{n}$|，
当且仅当|n|=|$\frac{k}{n}$|时，t最小=2$\sqrt{|n|×|\frac{k}{n}|}$=2$\sqrt{3}$，
即：n²=|k|，
∵k=±3，
∴n=±$\sqrt{3}$，
∴P（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），或（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）或（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，菱形的面积公式，梯形的面积公式，极值确定，解（1）的关键是用菱形的面积建立方程求解出k，解（2）的关键是四边形OPEF是等腰梯形，解（3）的关键是得出t=|n|+|$\frac{k}{n}$|，是一道中等难度的中考常考题．