Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD//BC，E是DA延长线上一点，AB²=AE·BC，BE和CA的延长线交于点F。

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BC=18，CD=12，AF=16，求BE和AD的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵AD//BC，∠ABC=∠EAB， ∵AB2=AE·BE， ∴， ∴△ABC∽△EAB， ∴∠1=∠2， 连结OA，OB， ∵OA=OB， ∴∠3=∠BAO， ∴∠O+2∠3=180°， 又∵∠O=2∠2， ∴2∠2+2∠3=180°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠EBO=90°， ∴OB⊥BF，又B点在⊙O上， ∴BF是⊙O的切线；
（2）∵AD//BC，AB=CD， ∴AB=CD=12， ∵AB2=AE·BC， ∴， ∵AD//BC， ∴△EFA∽△FBC， ∴， ∴， ∴AC=20， 由（1）知△ABC∽△EAB， ∴， ∴， 由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB2=EA·ED， ∴， ∴AD=ED-EA=， 综上，EB=，AD=为所求。