Question

4．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式--海伦公式S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$（其中a，b，c是三角形的三边长，p=$\frac{a+b+c}{2}$，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p=$\frac{a+b+c}{2}$=6
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{6×3×2×1}$=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．

Answer 1

分析 （1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$即可求得S的值；
（2）根据公式S=$\frac{1}{2}$r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．

解答 解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p=$\frac{BC+AC+AB}{2}$=$\frac{5+6+9}{2}$=10，
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{10×5×4×1}$=10$\sqrt{2}$；
故△ABC的面积10$\sqrt{2}$；

（2）∵S=$\frac{1}{2}$r（AC+BC+AB），
∴10$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$r（5+6+9），
解得：r=$\sqrt{2}$，
故△ABC的内切圆半径r=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．