Question

16．已知方程a（x-1）+b=2x-c-1至少有两个不同的解，则a²+b²+c²+ab+2bc+ca=7．

Answer 1

分析 先将方程变形为（a-2）x-a+b+c+1=0，根据方程a（x-1）+b=2x-c-1至少有两个不同的解，得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{-a+b+c+1=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b+c=1}\end{array}\right.$，再将a²+b²+c²+ab+2bc+ca变形后整体代入即可求解．

解答 解：a（x-1）+b=2x-c-1，
ax-a+b=2x-c-1，
（a-2）x-a+b+c+1=0，
∵方程a（x-1）+b=2x-c-1至少有两个不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{-a+b+c+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b+c=1}\end{array}\right.$，
∴a²+b²+c²+ab+2bc+ca
=4+b²+c²+2b+2bc+2c
=（b+c）²+2（b+c）+4
=1+2+4
=7．
故答案为：7．

点评 此题主要考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{-a+b+c+1=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b+c=1}\end{array}\right.$，同时注意整体思想的应用．