Question

15．计算：$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）×（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）×（1+\frac{1}{3}）×（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{99}}{（1+\frac{1}{2}）×（1+\frac{1}{3}）×…×（1+\frac{1}{99}）}$．

Answer 1

分析 找出各项的通项公式，得出一般性规律，将原式化简后，抵消合并即可求出值．

解答 解：根据题意得：$\frac{\frac{1}{n}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{n}）}$=$\frac{\frac{1}{n}}{\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}}$=$\frac{\frac{1}{n}}{\frac{n+1}{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则原式=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+2（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$）=$\frac{98}{100}$=$\frac{49}{50}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．