Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，8）和点A（1，0），交x轴另一点于B，交y轴于C．下列说法中：
①b=-4；       
②存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
③抛物线的对称轴位于y轴的右侧；         
④若a=1，则3OA•OB=OC²．
正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①根据二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，8）和点A（1，0），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值；
②结合二次函数的图象即可判断M、A、C三点不在同一条直线上；
③求出二次函数图象对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$，结合a＞0，b=-4即可作出判断；
④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，8）和点N（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8=a-b+c}\\{0=a+b+c}\end{array}\right.$，
解得b=-4．
故该选项正确．

②根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．

③由①可得b=-4，a＞0，则对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
所以抛物线的对称轴位于y轴的右侧．
故该选项正确．

④当a=1时，c=3，∴该抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
当y=0时，0=x²-4x+3，利用根与系数的关系可得x₁•x₂=3=c，
即OA•OB=3，
3OA•OB=OC²．
故该选项正确．
综上所述①③④正确．
故选C．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是要熟练掌握抛物线开口方向，对称轴以及根与系数关系等知识，此题难度不大．