Question

自从我市实行大课间活动以来，跳大绳成了同学们最喜爱的活动方式，你知道吗？在我们跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距离均为4米，手距地面均为1米，同学丙直立在距甲拿绳的手水平距离3米处，其身高为1.5米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶（假设在跳绳过程中人的顶部与地面的距离不变）．
（1）若身高为1.75米的小明同学也在甲、乙之间和丙一同跳，试问这次小明同学在不弯腰的情况下能顺利通过吗？请用学过的知识解决这个问题；
（2）身高为1.33米的小芳也想和丙一同跳，她应该站在什么地方起跳？（精确到0.01米）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设丙所在竖直方向为y轴，水平地面为x轴，根据图象过（1，1），（0，1.5），（-3，1）三点，用待定系数法可求出抛物线解析式．然后令y=1.75时，判断根的判别式符号即可．
（2）根据（1）所求抛物线，利用y=1.33进而求出x的取值范围．

解答：解：（1）设丙所在竖直方向为y轴，水平地面为x轴，

所求的函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由图可知，函数的图象过（-3，1），（0，1.5），（1，1）三点，
则

9a-3b+c=1 c=1.5 a+b+c=1

，
解得：

a=- 1 6 b=- 1 3 c= 3 2

，
故抛物线解析式为：y=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
当y=1.75，则1.75=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
整理得出：2x²+4x+3=0，
b²-4ac=16-24=-8＜0，
故此方程没有实数根，
故这次小明同学在不弯腰的情况下不能顺利通过；

（2）由题意可得出：1.33=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
整理得出：x²+2x-1.02=0，
解得：x₁=

-2+ 8.02

2

≈0.42，x₂≈-2.42，
故她应该站在距离丙0.42m或者站在距离丙2.42m的直接的地方都可以．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题关键．