Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）连结CD，试说明CD是⊙O的切线；
（3）若AB=2，BC=

2

，求AD的长．（结果保留根号）

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用∠A=∠BOC，∠ADB=∠OBC证明即可．
（2）连接OD，SAS证明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切线；
（3）先求出OB，OC的长，再运用△ADB∽△OBC，求出AD的长．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵AD∥CO，
∴∠A=∠BOC，
∴△ADB∽△OBC；
（2）如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CO，
∴∠DFO=90°，
∵∠ODB=∠OBD，
∴∠DOF=∠BOF，
∵OD=OB，OC=OC，
在△ODC和△OBC中，

OD=OB ∠DOF=∠BOF OC=OC

∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（3）∵AB=2，
∴OB=1，
∵BC=

2

，
∴OC=

OB2+BC2

=

3

．
∵AD∥CO，
∴∠DAB=∠COB，
∵∠ADB=∠OBC=90°，
∴△ADB∽△OBC，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，即

AD

1

=

2

3

，
解得AD=

2 3

3

．

点评：本题主要考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是运用△ADB∽△OBC求出AD．