Question

20．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过CA延长线上点P作⊙O的切线PD．切点为D，且PD∥AB．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若tanB=$\frac{3}{4}$，PD=$\frac{35}{4}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）如图连接OD、DA、BD，只要证明AD=BD即可得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，由此即可证明．
（2）作PM⊥BA交BA的延长线于M，先证明∠APM=∠ABC，由tan∠ABC=tan∠APM=$\frac{3}{4}$=$\frac{AM}{PM}$，设AM=3k，PM=4k，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OD、DA、BD．
∵PD是⊙O切线，
∴OD⊥PD，
∵PD∥AB，
∴OD⊥AB，
∵OA=OB，
∴DA=DB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DB}$，
∴∠DCA=∠DCB，
∴CD平分∠ACB．
（2）解：作PM⊥BA交BA的延长线于M．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠CAB=∠MAP，∠ACB=∠M=90°，
∴∠APM=∠ABC，
∴tan∠ABC=tan∠APM=$\frac{3}{4}$=$\frac{AM}{PM}$，设AM=3k，PM=4k，
∵∠M=∠MOD=∠ODP=90°，
∴四边形PMOD是矩形，
∴OD=PM=4k，OM=PD=7k，
∴7k=$\frac{35}{4}$，
k=$\frac{5}{4}$，
∴AB=8k=10，
∴⊙O的直径为10．

点评 本题考查切线的性质、圆的有关知识，解题的关键是学会转化的思想，证角相等转化为证明弧相等，第二个问解题的关键是设未知数列方程解决，用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．