Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求△ABF的面积；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得AE²=AO•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,菱形的判定,翻折变换（折叠问题）,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAO=∠FCO，再利用“角边角”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得AE=CE，然根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）设BF=x，再表示出AF，然后利用勾股定理列式求出x，再利用三角形的面积列式计算即可得解；
（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，求出△AOE和△AEP相似，再根据相似三角形对应边成比例解答．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质，OA=OC，∠AOE=∠COF，
在△AEO和△CFO中，

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF为对称轴，
∴AE=CE，
∴四边形AFCE菱形；

（2）解：设BF=x，∵四边形AECF是菱形，
∴AF=FC=8-x，
∵ABCD是矩形，
∴∠B是直角，
∴（8-x）²=4²+x²，
解得x=3，
∴S_△ABF=

1

2

×3×4=6；

（3）存在．过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点．
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AO

=

AP

AE

，
∴AE²=AO•AP．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记各性质以及菱形的判定方法是解题的关键．