Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 （O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a= c，

由△AOF的面积为S= ×b×c= ，则bc=1，

由a2=b2﹣c2，解得：a= ，b=c=1，

∴椭圆的标准方程为： ；

（2）

证明：由（1）可知：F（1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1，

设P（ cosθ，sinθ），且cosθ＞0，则|PF|= = = ﹣cosθ，

由M是圆x2+y2=1的切点，则OM⊥PM，且丨OM丨=1，

则丨PM丨= = = =cosθ，

∴|PF|+|PM|= ﹣cosθ+cosθ= ，

∴|PF|+|PM|为定值．

【解析】（1）根据椭圆的离心率求得a= c，bc=1，及a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的参数方程，设P点坐标，利用两点之间的距离公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值为定值．