题目内容
【题目】如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． 
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M， 求证：①GM=2MC；
②AG2=AFAC．
【答案】
（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中， 
，
∴△ABE≌△DBE
（2）证明：①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴ 
= 
= 
，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴ 
= ，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴ 
= 
，
∵AB=AG，
∴ = 
，
∴2CNAG=AFAC，
∴AG2=AFAC．
【解析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，求得GM=2MC； ②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到 = ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到 = ，等量代换得到 = ，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．
