Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立．
（1）试求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列 的前n项和Tn取得最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=1+Sn得：当n≥2时，an=1+Sn﹣1，

两式相减得：an+1=2an，

∵数列{an}是等比数列，∴a2=2a1，

又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．

得： ；

（2）解： ，可知数列 是一个递减数列，

∴ ，

由此可知当n=9时，数列 的前项和Tn取最大值．

【解析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an ， 再由数列{an}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入数列 ，可得数列 是递减数列，可知当n=9时，数列 的项为正数，n=10时，数列 的项为负数，则答案可求．