Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2 ，DE=2，求AD的长，
（3）在（2）的条件下，求弧BD的长。

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A.

（2）

解：（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
在Rt△CDE中，CE=2，DE=2，

则tan∠DCE=，

∴∠DCE=30°，

∴∠A=∠DCE=30°，

在Rt△ACE中，AE==2=6,
∴AD=AE-DE=4．

（3）

解：在Rt△ABD中，∠A=30°，AB=×AD=，则OB=AB=.

由（1）得∠BOD=2∠A=60°，

则弧BD的长为=.

【解析】（1）连接OD，由“切线的性质”和“直径所对的圆周角为直角”可证明得；
（2）可先证∠A=∠DCE，由tan∠DCE=，可解得∠DCE的度数，从而可得∠A的度数为30°，即可求出AE；
（3）求出圆心角∠BOD的度数，和半径OB，即可求得.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆周角定理和切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．