Question

4．如图1，△ABC中，AC=8$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，tanB=4，过点A作BC的平行线，与过C且垂直于BC的直线交于点D，一个动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE⊥BC，交折线BA-AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点F恰好落在CD上时，求运动时间t的值；
（2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，以及相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过Q作QM⊥BC交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一直线上，求此刻t的值．

Answer 1

分析 （1）当点F落在CD上时，如答图1所示，可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形，利用几何图形性质求出t的值；
（2）点P的运动过程，可分为三种情形，分别如答图2-1，答图2-2，答图2-3所示，需要分类讨论，分别求解；
（3）点P、Q的运动过程，满足题意条件的有三种情形，分别如答图3-1，答图3-2，答图3-3所示，需要分类讨论，分别求解．

解答 解：（1）由题意可知，△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8．
如答图1，过点A作AG⊥BC于点G，则△ACG为等腰直角三角形．
∴AG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8．
在Rt△ABG中，BG=$\frac{AG}{tanB}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴BC=BG+CG=2+8=10．

当点F落在CD上时，可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形，
∴DE=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，PC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF．
∵△PEF为等腰直角三角形，EF=PF，
∴PC=CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴BP=BC-PC=10-4=6．
∴当点F恰好落在CD上时，t=6s．

（2）在点P运动过程中：
①当0≤t＜2时，如答图2-1所示．
PE=BP•tanB=4t，
S=$\frac{1}{4}$PE²=$\frac{1}{4}$（4t）²=4t²；

②当2≤t＜6时，如答图2-2所示．
S=$\frac{1}{4}$PE²=$\frac{1}{4}$×8²=16；
③当6≤t≤10时，如答图2-3所示．
设EF、PF分别与CD交于点K、J，易知△DEK、△PCJ均为等腰直角三角形，
∴DK=CJ=PC=10-t，
KJ=CD-DK-CJ=8-2（10-t）=2t-12，
∴S=$\frac{1}{2}$（KJ+PE）•PC=$\frac{1}{2}$（2t-12+8）（10-t）=-t²+12t-20．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{4{t}^{2}（0≤t＜2）}\\{16（2≤t＜6）}\\{-{t}^{2}+12t-20（6≤t≤10）}\end{array}\right.$．

（3）在点P、Q的运动过程中：
①当EF与NQ落在同一直线上时，如答图3-1所示．
此时，△PEQ为等腰直角三角形，则PQ=PE=4t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+4t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{7}$s；

②当PF与MN落在同一直线上时，如答图3-2所示．
此时，△PQF为等腰直角三角形，则PQ=QF=CQ=2t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=10，
∴t=2s；
③当PE与QM落在同一直线上时，如答图3-3所示．
∴BC=BP+CQ=t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{3}$s．
综上所述，满足条件的t的值为：$\frac{10}{7}$或2或$\frac{10}{3}$．

点评 本题是四边形综合题，运动型几何综合题，等腰三角形的性质，组合图形的面积，渗透分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．