Question

17．如图，BD是△ABC的平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD⊥AC，BC=8，求四边形ADEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，得到∠ABD=∠EBD=30°，因为BD⊥AC，得到∠C=60°，AD=CD，△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的性质三线合一得到AD=CD=$\frac{1}{2}AC$，由EF∥AC，得到BD⊥EF，EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=2，求得BG=2$\sqrt{3}$，根据BD=4$\sqrt{3}$，得到DG=2$\sqrt{3}$，根据平行四边形的面积公式 求出结果．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；

（2）解：∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∵BD⊥AC，
∴∠C=60°，AD=CD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴EF=AD=4，
∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=2，∴BG=2$\sqrt{3}$，
∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴DG=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形AFED}=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数，正确应用等腰三角形的性质三线合一时解题的关键．