Question

2．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F
（1）试判断四边形AFDE的形状并加以证明说明；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形AFDE是以AD所在的直线为对称轴的四边形，只要证DE=DF，AE=AF即可；
（2）解决此题的关键是先假设四边形EDFA是正方形，根据其判定即可添加一个条件．

解答 （1）四边形AFDE是以AD所在的直线为对称轴的四边形；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵D是BC的中点，
∴DB=DC，
在△DEB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD}\\{∠B=∠C}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF，BE=CF，
∴AE=AF，
∴四边形AFDE是以AD所在的直线为对称轴的四边形．

（2）解：添加∠A=90°．
∵四边形AFDE是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形EDFA是正方形．
（方法很多，如∠B=45°或BC=$\sqrt{2}$AB或DE⊥DF或F为AC中点或DF∥AB等）

点评 此题考查了全等三角形的判定和正方形的判定，掌握正方形的判定方法与三角形全等的判定方法解决问题的关键．