Question

4．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB的外角，AD⊥BD，AE⊥CE，若DE=$\frac{3}{2}$，AE=$\frac{7}{2}$，∠ABC=60°，则AB=5．

Answer 1

分析 延长AE交BC于点N，作NH⊥AD于点H，利用全等三角形证明D、E分别是AM和AN的中点，则MN即可求得，在直角△MNH中利用三角函数求得HM和HN的长，再在直角△AHN中利用勾股定理求得AH的长，则AB=AM=AH-MH求解．

解答 解：延长AE交BC于点N，作NH⊥AD于点H．
在直角△ABD和直角△MBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠MBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=∠BDM=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM，AB=BM，
同理，AE=EN，AN=2AE=7，
∴DE是△AMN的中位线，
∴MN=2DE=2×$\frac{3}{2}$=3，
又∵∠ABM=60°，AB=BM，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AMB=60°，
∴∠NMH=∠AMB=60°，
∴在直角△MNH中，NH=MN•sin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，MH=MN•cos60°=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
在直角△ANH中，AH=$\sqrt{A{N}^{2}-H{N}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∴AM=AH-MH=$\frac{13}{2}-\frac{3}{2}$=5．
∴AB=AM=5．
故答案是：5．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．