题目内容
3．已知直线l1、l2，l1∥l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC=60°，AB=4，O是AB的中点，D是CB延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与D′重合．
（1）如图1，当点D′落在直线l1上时，求DB的长；
（2）延长DO交l1于点E，直线OD′分别交l1、l2于点M、N．
①如图2，当点E在线段AM上时，设AE=x，DN=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；
②若△DON的面积为$\frac{3}{2}\sqrt{3}$时，求AE的长．
分析 （1）过D′作D′H⊥l2，如图1所示，可得DH=AC，由折叠的性质及平角定义得到∠D′CH=60°，D′C=DC，求出D′C的长，即为DC的长，再由三角形BOC为等边三角形，且OC等于斜边AB的一半，求出BC的长，由DC-BC求出BD的长即可；
（2）①利用两对角相等的三角形相似得到△BOD∽△CND′，由相似得比例列出关系式，即可确定出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；
②过O作OP⊥BC，如图3所示，由OP的长及已知三角形DON的面积，求出DN的长，分两种情况考虑：当点E在线段AM上时，如图3所示，根据DN的长，求出AE的长即可；当点E在线段AM的延长线上时，如图4所示，同理可得△BOD∽△CND′，由相似得比例求出此时AE的长即可．
解答 解：（1）过D′作D′H⊥l2，如图1所示，可得DH=AC=2$\sqrt{3}$，
∵∠DCO=∠D′CO=60°，
∴∠D′CH=60°，
∴CD=CD′=4，
∵∠DCO=∠ABC=∠D′CO=60°，
∴△OBC为等边三角形，即BO=CO=BC，
∵O为Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，即BC=2，
∴BD=CD-BC=2；
（2）①∵∠DCO=∠D′CO=∠BOC=60°，
∴∠OBD=∠NCD′=120°，
∵∠ODC=∠ODC′，
∴△BOD∽△CND′，
∴$\frac{BO}{CN}$=$\frac{BD}{CD′}$，即$\frac{2}{2+x+y}$=$\frac{x}{x+2}$，
则y=$\frac{4}{x}$-x（0＜x≤2）；
②过O作OP⊥BC，如图3所示，
∴S△DON=$\frac{1}{2}$DN•OP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{3}$，
∴DN=3，
当点E在线段AM上时，如图3所示，
可得DN=y=3，
∴$\frac{4}{x}$-x=3，
解得：x=1（负值舍去），即AE=1；
当点E在线段AM的延长线上时，如图4所示，
同理可得△BOD∽△CND′，
∴$\frac{BO}{CN}$=$\frac{BD}{CD′}$，即$\frac{2}{2+AE-3}$=$\frac{AE}{AE+2}$，
解得：AE=4，
综上，AE的长为1或4．
点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
开心蛙状元测试卷系列答案| A． | 对角线垂直的四边形是菱形 | B． | 矩形的对角线垂直且相等 | ||
| C． | 对角线相等的矩形是正方形 | D． | 位似图形一定是相似图形 |
| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -1 | D． | 1 |
《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”
设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ）
| A． | 3（x+4）=4（x+1） | B． | 3x+4=4x+1 | C． | 3（x-4）=4（x-1） | D． | $\frac{x}{3}-4=\frac{x}{4}-1$ |