题目内容
6．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，点E在线段AB上，且AE：EB=1：2．（1）请直接写出点A、B、D、E的坐标；
（2）作直线AD，将直线AD绕点A按逆时针方向旋转α°（0°＜α＜180°），速度为5°/s，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点M，使以M、E、B为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点M有且只有三个不同位置，求旋转时间；
（3）连接AC，在x轴上方的抛物线上找一点P，使∠CAP=45°，求点P的坐标．
分析 （1）只需令y=0就可求出点A、B的坐标，把抛物线的解析式配成顶点式就可得到顶点D的坐标，根据条件AE：EB=1：2就可求出点E的坐标；
（2）显然，旋转后的直线上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的点M各有一个，要使满足条件的点M有且只有三个，只需旋转后的直线上使得∠EMB=90°的点M只有一个，由于点M在以BE为直径的⊙O上，因此旋转后的直线与⊙O只有一个交点，即该直线与⊙O相切于M，则OM⊥AM，如图1、图2，只需利用三角函数求出∠OAM，就可解决问题；
（3）设直线AP与y轴交于点Q，过点Q作QH⊥AC于H，如图3，通过解△ACQ就可求出QC，从而得到点Q的坐标，要求点P的坐标只需求出直线AP的解析式，由于点A、Q的坐标已知，只需运用待定系数法就可解决问题．
解答 解：（1）令y=0，得$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=0，
解得x1=-4，x2=2，
∴A（-4，0），B（2，0）．
∴AB=2-（-4）=6，OA=4，
由y=$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}（x+1）^{2}-3$得D（-1，-3），
∵AE：EB=1：2，
∴AE=$\frac{1}{3}AB$=2，
∴OE=2，
∴E（-2，0）；
（2）显然，旋转后的直线上使得∠MEB=90°和∠EBM=90°的点M各有一个，
要使满足条件的点M有且只有三个，只需旋转后的直线上使得∠EMB=90°的点M只有一个，
由于点M在以BE为直径的⊙O上，因此旋转后的直线与⊙O只有一个交点，
即该直线与⊙O相切于M，则OM⊥AM，如图1、图2，
在Rt△AMO中，sin∠OAM=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAM=30°．
∵tan∠OAD=$\frac{3}{-1-（-4）}$=1，
∴∠OAD=45°，
∴t1=$\frac{45-30}{5}$=3，t2=$\frac{45+30}{5}$=15．
∴旋转时间为3秒或15秒；
（3）设直线AP与y轴交于点Q，过点Q作QH⊥AC于H，如图3，
则有∠PAC=45°，C（0，-$\frac{8}{3}$），OC=$\frac{8}{3}$．
∴tan∠ACO=$\frac{4}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{2}$，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
设HC=2x，由tan∠HCQ=$\frac{QH}{CH}$=$\frac{3}{2}$得QH=3x．
由tan∠QAH=$\frac{QH}{AH}$=1得AH=QH=3x，
∴AC=3x+2x=5x=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{13}}{15}$，
∴QC=$\sqrt{H{C}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=$\frac{52}{15}$，
∴OQ=$\frac{52}{15}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴Q（0，$\frac{4}{5}$）．
设直线AP的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
∴直线AP的解析式为y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{13}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{33}{25}}\end{array}\right.$
∴点P的坐标为（$\frac{13}{5}$，$\frac{33}{25}$）．
点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、抛物线上点的坐标特征、直线与抛物线的交点问题、三角函数、勾股定理、圆周角定理、直线与圆相切等知识，综合性比较强，难度比较大，把问题转化为直线与圆的位置关系是解决第（2）小题的关键，通过解△ACQ求出QC是解决第（3）小题的关键．
期末100分闯关海淀考王系列答案
，AC，BD相交于点O．
B. 
C. 
D. 
如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．