Question

2．已知直线L₂：y=-3x+24，直线L₁：y=$\frac{1}{2}$x+3，交于点C，直线L₁和直线L₂分别交x轴于B、A，过点A作AD⊥x轴并交L₁于D，过点D作DE∥x轴并交L₂于E，再过E作x轴垂线，垂足为F，得到矩形GDEF（G与A重合）
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形GDEF的边DE和EF的长；
（3）若将矩形GDEF沿x轴的负方向以每秒一个单位长度的速度平移，设移动时间为t（s）（0≤t≤14），求矩形GDEF平移过程中，矩形GDEF与△ABC公共部分的面积S与矩形运动时间t（秒）之间的函数关系，并写出相应的t的范围．

Answer 1

分析 （1）将y=0分别代入两直线解析式，即可得出A、B点的坐标，令-3x+24=$\frac{1}{2}$x+3，解方程可得出C点的横坐标，将其代入直线解析式中即可得出C点的纵坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）依照题意画出图形，将x=8代入直线L₁中解出D点横坐标，由此能得出D点的坐标；再将D点的纵坐标代入直线L₂中可求得E点的横坐标，由此可得出点E的坐标；由EF⊥x轴即可得出F点的坐标，结合点的坐标即可求出DE和EF的长；
（3）由DE=$\frac{7}{3}$＞2，可知整个运动过程可以分三部分讨论，根据直线的斜率可得出分割图形，结合三角形和梯形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）令y=0，则有-3x+24=0和$\frac{1}{2}$x+3=0，
解得：x=8和x=-6，
∴点B的坐标为（-6，0），点A的坐标为（8，0）．
令-3x+24=$\frac{1}{2}$x+3，解得：x=6，
此时y=$\frac{1}{2}$×6+3=6，即点C的坐标为（6，6）．
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×[8-（-6）]×6=42．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．

将x=8代入直线L₁：y=$\frac{1}{2}$x+3中，
得：y=$\frac{1}{2}$×8+3=7，
即点D的坐标为（8，7）；
将y=7代入直线L₂：y=-3x+24，
则有7=-3x+24，解得：x=$\frac{17}{3}$，
即点E的坐标为（$\frac{17}{3}$，7）；
又∵EF⊥x轴，
∴点F的坐标为（$\frac{17}{3}$，0）．
∴DE=8-$\frac{17}{3}$=$\frac{7}{3}$，EF=7-0=7．
（3）随着矩形的运动，分三种情况：
①点C在线段DG的左侧，如图2所示．

此时0≤AG＜8-6，即0≤t＜2．
AG=t，NG=3AG=3t，BF=AB-FG-AG=14-$\frac{7}{3}$-t=$\frac{35}{3}$-t，MF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{35}{6}$-$\frac{t}{2}$．
此时S=S_△ABC-S_△BFM-S_△AGN=42-$\frac{1}{2}$BF•MF-$\frac{1}{2}$AG•NG=-$\frac{7}{4}{t}^{2}$+$\frac{35}{6}$t+$\frac{287}{36}$；
②点C在线段DG的右侧（或在线段DG上），点B在线段EF的左侧（或在线段EF上），由图3所示．

此时8-6≤AG≤AB-FG，即2≤t≤$\frac{35}{3}$，
AG=t，BG=AB-AG=14-t，NG=$\frac{1}{2}$BG=7-$\frac{1}{2}$t，BF=AB-AG-FG=$\frac{35}{3}$-t，MF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{35}{6}$-$\frac{1}{2}$t．
此时S=$\frac{1}{2}$（MF+NG）•FG=$\frac{1}{2}$×（$\frac{35}{6}$-$\frac{1}{2}$t+7-$\frac{1}{2}$t）×$\frac{7}{3}$=-$\frac{7}{6}$t+$\frac{539}{36}$；
③点B在EF的右边，点B在线段DG的左侧（或在线段DG上），如图4所示．

此时AB-FG＜AG≤AB，即$\frac{35}{3}$＜t≤14，
AG=t，BG=AB-AG=14-t，NG=$\frac{1}{2}$BG=7-$\frac{1}{2}$t．
此时S=$\frac{1}{2}$BG•NG=$\frac{1}{2}$×（14-t）×（7-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-7t+49．
综上可知：矩形GDEF与△ABC公共部分的面积S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{7}{4}{t}^{2}+\frac{35}{6}t+\frac{287}{36}（0≤t＜2）}\\{-\frac{7}{6}t+\frac{539}{36}（2≤t≤\frac{35}{3}）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-7t+49（\frac{35}{3}＜t≤14）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数的应用、三角形的面积公式、梯形的面积公式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）求出A、B、C三点的坐标；（2）求出D、E、F三点的坐标；（3）依照运动过程分段考虑．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）利用矩形运动过程中图形的不同分三部分考虑，期间用到了分割图形求面积，分割法是我们中学阶段常用到的求面积的手段，在日常学习中应加强练习．