如图.△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形.四边形DEFG是边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图①的方式摆放.使点C与点E重合.点B.C.E.F在同一条直线上.△ABC从图①的位置出发.以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动.当点B与点E重合时停止运动.设△ABC的运动时间为t秒．(1)当点A与点D重合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形，四边形DEFG是边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图①的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C、E、F在同一条直线上，△ABC从图①的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点B与点E重合时停止运动，设△ABC的运动时间为t秒．
（1）当点A与点D重合时，求此时t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图②，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线BM交AE于点M，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形？若存在，求线段AH的长度；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出△ABC三边的高为4$\sqrt{3}$sin60°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，当点A与点D重合时，沿EF方向向右运动了2$\sqrt{3}$，即可得出结果；
（2）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出0≤t＜2$\sqrt{3}$时重叠部分的面积，当2$\sqrt{3}$≤t≤6时用S_△ABC-$\frac{（4\sqrt{3}-t）（4\sqrt{3}-t）\sqrt{3}}{2}$就可以求出重叠部分的面积．
（3）当点A与点D重合时，BE=CE=2$\sqrt{3}$，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出AH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．

解答解：（1）∵△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴△ABC三边的高为4$\sqrt{3}$sin60°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∵四边形DEFG是边长是6的正方形，
∴△ABC从图①的位置出发，沿EF方向向右运动时，点A与点D能重合，
当点A与点D重合时，沿EF方向向右运动了$\frac{4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{1}$=2$\sqrt{3}$（秒）；
（2）分两种情况：
①当0≤t＜2$\sqrt{3}$时，S=$\frac{1}{2}$t•t•tan60°=$\frac{1}{2}$t²×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
②当2$\sqrt{3}$≤t≤6时，S=S_△ABC-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-t）（4$\sqrt{3}$-t）tan60°=$\frac{1}{2}$×6×4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（48-8$\sqrt{3}$t+t²）$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+12t-12$\sqrt{3}$；
（3）当点A与点D重合时，BE=CE=2$\sqrt{3}$
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，
∴ME=BEtan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
由旋转的性质得：△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4，
△ANH为等腰三角形分三种情况讨论：
①AN=AH=4时，
∵AG=6，
∴△ANH为等腰三角形成立；
②AN=NH=4时，
∵∠CAE=30°、∠CAN=30°，
∴∠NAG=30°，
∴AH=2ANcot30°=2×4×$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$＞6，
∴H点在线段AG的延长线上，
∴不合题意舍去；
③AH=NH时，则H点为线段AN的中垂线与AG的交点，如图所示：
∴AK=$\frac{1}{2}$AN=2，AH=$\frac{AK}{cos∠HAK}$=$\frac{2}{cos30°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．