Question

13．如图，正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．

解答 解：∵正方形ABCD
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{AO=BO}\\{∠FAO=∠EBO}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△BEO（ASA）
∴FO=EO
∵正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，E是OC的中点
∴FO=EO=1=BF，BO=2
∴直角三角形BOE中，BE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$
由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO
∴$\frac{FM}{EO}=\frac{BF}{BE}$，即$\frac{FM}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
∴FM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．