Question

7．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设△AOD能否为等边三角形，根据题意证明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．

解答 （1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
（3）不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°．
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°＜360°．
∴△AOD不可能为等边三角形；
（4）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．