Question

1．数学活动：将形状不同的三张矩形纸片按照如图的方式折叠，BE、DF分别是折痕．折叠后点A、C分别落在矩形对角线BD上的点P、点Q处．
（1）如图1，折叠后的四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
（2）如图2，折叠后若点P与点Q重合，则矩形ABCD中$\frac{BC}{AB}$的值是$\sqrt{3}$（直接写答案）．
（3）如图3，延长 EP交BC边于点G，延长 FQ交AD边于点H，若四边形EGFH是菱形，AD=10，求矩形的宽AB的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用翻折变换的性质得出，∠EBD=∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠FDB=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDB，进而得出EB∥DF，又DE∥BF，即可得出答案；
（2）利用CD=$\frac{1}{2}$BD，又∠C=90°，得出∠DBC=30°，即可得出$\frac{BC}{AB}$的值；
（3）利用翻折变换的性质得出BD=BP+PQ+QD=AB+AB+AB，进而利用勾股定理得出AB的长．

解答 解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠的性质可知，∠EBD=∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠FDB=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，又DE∥BF，
∴折叠后的四边形BEDF是平行四边形；

（2）如图2，∵DC=DP，BA=BP，DC=BA，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD，又∠C=90°，
∴∠DBC=30°，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；

（3）如图3，∵AB=PB，CD=QD，EP⊥BD，FQ⊥DQ，
∴PQ是菱形EGFH的高，即EH与GF间的距离为PQ，
故PQ=AB=CD，
∴BD=BP+PQ+QD=AB+AB+AB，
∴3AB=BD，
∴设AB=x，则BD=3x，
∵AD=10，
∴x²+10²=（3x）²，
解得：x=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（负数舍去），
即矩形的宽AB的长为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查了四边形综合以及勾股定理和翻折变换的性质、平行四边形的判定等知识，正确表示出BD与AB的关系是解题关键．