Question

6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b，$\sqrt{AC}$=$\sqrt{ab}$．求证：DC⊥BC．

Answer 1

分析 根据勾股定理分别求出AD、CD、AB，再求出△ADC和△CBA的三边之比，进而证得△ADC∽△CBA，得到∠ACD=∠ACB，推出AD‖BC，从而推出结论．

解答 证明：在R_t△ABC中，
∵AD=a，$\sqrt{AC}$=$\sqrt{ab}$，
∴CD=$\sqrt{ab{-a}^{2}}$，
在R_t△ABC中，
∵BC=b，$\sqrt{AC}$=$\sqrt{ab}$，
∴AB=$\sqrt{{b}^{2}-ab}$，
∵$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{a}{\sqrt{ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$，
$\frac{CD}{AB}=\frac{\sqrt{（ab-{a}^{2}）}}{\sqrt{{b}^{2}-ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{b}$，
∴△ADC∽△CBA，
∴∠ACD=∠ACB，
∴AD‖BC，
∴∠BCD+∠ADC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴DC⊥BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．