Question

11．如图1，已知直线l₁∥l₂，且l₁、l₂分别相交于A、B两点，l₄和l₁、l₂分别交于C、D两点，∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3．点P在线段AB上．

（1）若∠1=22°，∠2=33°，则∠3=55°．
（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．
（4）如果点P在直线l₃上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，根据平行线的性质即可求解；
（4）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可．

解答 解：（1）∠1+∠2=∠3．
∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2=55°，
故答案为：55°；

（2）∠1+∠2=∠3，
∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠1+∠2=∠3；

（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；

（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

点评 此题考查了平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．