Question

20．直线y=$\frac{1}{2}$x+b与函数y=x²+|2x²-1|的图象有且只有三个交点，则b的值为$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 首先作出函数y=x²+|2x²-1|的图象，根据函数的图象即可确定b的取值．

解答 解：当2x²-1≤0时，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=x²+|2x²-1|=-x²+1；
当2x²-1＞0时，即x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=x²+|2x²-1|=3x²-1；
作出函数的图象如图：

故要使函数y=$\frac{1}{2}$x+b与函数y=x²+|2x²-1|的图象有且只有三个交点，则
$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+b=$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
或$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+b=1，解得b=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故b的值为$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．