Question

15．如图，在平面直角坐标系中有一被称为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，照此规律作下去，则点B₂₀₂₀的坐标为（-2¹⁰¹⁰，-2¹⁰¹⁰）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质找出部分点B_n的坐标，由坐标的变化找出变化规律“B_8n+1（0，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+2（-2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+3（-2⁴ⁿ⁺²，0），B_8n+4（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），B_8n+5（0，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+6（2⁴ⁿ⁺³，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+7（2⁴ⁿ⁺⁴，0），B_8n+8（2⁴ⁿ⁺⁴，2⁴ⁿ⁺⁴）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：B₁（0，2），B₂（-2，2），B₃（-4，0），B₄（-4，-4），B₅（0，-8），B₆（8，-8），B₇（16，0），B₈（16，16），B₉（0，32），
∴B_8n+1（0，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+2（-2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+3（-2⁴ⁿ⁺²，0），B_8n+4（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），B_8n+5（0，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+6（2⁴ⁿ⁺³，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+7（2⁴ⁿ⁺⁴，0），B_8n+8（2⁴ⁿ⁺⁴，2⁴ⁿ⁺⁴）．
∵2020=8×252+4，
∴B₂₀₂₀（-2¹⁰¹⁰，-2¹⁰¹⁰）．
故答案为：（-2¹⁰¹⁰，-2¹⁰¹⁰）．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解题的关键是找出点的变化规律“B_8n+1（0，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+2（-2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹），B_8n+3（-2⁴ⁿ⁺²，0），B_8n+4（-2⁴ⁿ⁺²，-2⁴ⁿ⁺²），B_8n+5（0，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+6（2⁴ⁿ⁺³，-2⁴ⁿ⁺³），B_8n+7（2⁴ⁿ⁺⁴，0），B_8n+8（2⁴ⁿ⁺⁴，2⁴ⁿ⁺⁴）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标变化找出变化规律是关键．