Question

12．如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，直线O₁O₂交⊙O₁于P点，直线PA交⊙O₂于C点，直线PB交⊙O₂于D点．求证：O₁O₂⊥CD．

Answer 1

分析 根据两圆的连心线垂直平分公共弦，可以证明△PAB是等腰三角形，PO₁是角平分线，再证明△PCD是等腰三角形即可解决问题．

解答 证明：如图连接AB．
∵O₁O₂垂直平分AB，
∴PA=PB，∠APO₁=∠BPO₁
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB=∠PDC，∠PBA=∠PCD，
∴∠PDC=∠PCD，
∴PC=PD，
∵∠APO₁=∠BPO₁，
∴PO₂⊥CD．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，记住两圆的连心线垂直平分公共弦，属于中考常考题型．