Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB=$\frac{3}{2}$，且sin∠CFD=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径与线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{3}{5}$，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，可得到AE=$\frac{24}{5}$x，接着表示出BE得到$\frac{6}{5}$x=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{5}{4}$，于是可得到AE和OD的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{3}{5}$，
设OD=3x，则OF=5x，
∴AB=AC=6x，AF=8x，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{3}{5}$•8x=$\frac{24}{5}$x，
∵BE=AB-AE=6x-$\frac{24}{5}$x=$\frac{6}{5}$x，
∴$\frac{6}{5}$x=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$•$\frac{5}{4}$=6，
OD=3•$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
即⊙O的半径长为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决（2）小题的关键．