Question

9．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交点C．在下面五个结论中：
①bc＞0；②a+b+c＜0；③c=-3a；④当-1＜x＜3时，y＞0；⑤如果△ABC为直角三角形，那么仅a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$一种情况，
其中正确的结论是①②③⑤．（只填序号）

Answer 1

分析 ①根据图象确定a、b、c符号即可判断．
②x=1时，y＜0，由此即可判断．
③设抛物线为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，由此即可判断．
④观察图象可知当-1＜x＜3时，y＜0，故结论错误．
⑤先求出点C坐标，代入y=a（x+1）（x-3）即可解决问题．

解答 解：由图象可知a＞0，c＜0，-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，
∴bc＞0，故①正确．
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②正确，
∵A（-1，0），B（3，0），设抛物线为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴c=-3a，故③正确，
当-1＜x＜3时，y＜0，故④错误，
∵△ABC是RT△，
∴CO²=AO•BO，
∴CO=$\sqrt{3}$，
∴点C坐标（0，-$\sqrt{3}$），代入y=a（x+1）（x-3），得到a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故④正确．
故答案为①②③⑤．

点评 本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是记住二次函数的性质，a＞0开口向上，a＜0开口向下，对称轴在y轴左侧a、b同号，对称轴在y轴右侧a、b异号，属于中考常考题型．