Question

10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
（1）用尺规作出∠BAC的平分线AD，AD交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，若DE⊥AB，垂足为E．
①BD=$\frac{8}{3}$；
②求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AD平分∠BAC；
（2）如图，设BD=x，则CD=6-x，先利用勾股定理计算出在AB=10，再根据角平分线性质得到CD=DE=6-x，接着证明Rt△ADC≌Rt△ADE得到AC=AE=8，则BE=AB-AE=2，然后证明Rt△BDE∽Rt△BAC，则利用相似比可计算出BD．

解答 解：（1）如图，AD为所作；

（2）如图，设BD=x，则CD=6-x，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6-x，
在Rt△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC=AE=8，
∴BE=AB-AE=10-8=2，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{2}{6}$=$\frac{6-x}{10}$，解得x=$\frac{8}{3}$，
所以BD的长为$\frac{8}{3}$，BE的长为2．
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．