Question

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：DP•BD=AD•BC．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出$\widehat{AB}=\widehat{DC}$，进而得出答案；
（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{DC}$，
∴AB=CD；
（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，
∴∠BCD=∠APD，
∵∠ADB=∠CBD，
∴△ADP∽△DBC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DP}{BC}$，
∴DP•BD=AD•BC．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、圆周角定理等知识；熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．