Question

18．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC=∠DEC；
（2）当CE=CD时，求证：DF²=FE•FB．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质，根据SAS即可证得：△BEC≌△DEC，得出对应角相等即可；
（2）首先证明△FDE∽△FBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCE，
在△BEC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴∠BEC=∠DEC．
（2）证明：连接BD，如图所示．
∵CE=CD，
∴∠DEC=∠EDC．
∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠EDC=∠AEF．
∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，
∴∠FED=∠ECD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴∠ECD=∠ADB．
∴∠FED=∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴$\frac{FE}{DF}=\frac{DF}{BF}$，
∴DF²=FE•BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．