Question

16．（1）抛物线m₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁中，函数y₁与自变量x之间的部分对应值如表：

x	…	-2	-1	1	2	4	5	…
y1	…	-5	0	4	3	-5	-12	…

设抛物线m₁的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．
（2）将设抛物线m₁沿x轴翻折，得到抛物线m₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，则当x=-3时，y₂=12．
（3）在（1）的条件下，将抛物线m₁沿水平方向平移，得到抛物线m₃．设抛物线m₁与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m₃与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m₃于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求出抛物线m₁的解析式为y₁=-x²+2x+3，再配成顶点式可得到P点坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；
（2）根据抛物线的几何变换得到抛物线m₁与抛物线m₂的二次项系数互为相反数，然后利用顶点式写出抛物线m₂的解析式，再计算自变量为-3时的函数值；
（3）先确定A点坐标，再根据平移的性质得到四边形AMKC为平行四边形，根据菱形的判定方法，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，接着计算出AC=$\sqrt{10}$，则CK=$\sqrt{10}$，然后根据平移的方向不同得到K点坐标．

解答 解：（1）把（-1，0），（1，4），（2，3）分别代入y₁=a₁x²+b₁x+c₁得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}-{b}_{1}+{c}_{1}=0}\\{{a}_{1}+{b}_{1}+{c}_{1}=4}\\{4{a}_{1}+2{b}_{1}+{c}_{1}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{{b}_{1}=2}\\{{c}_{1}=3}\end{array}\right.$．
所以抛物线m₁的解析式为y₁=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则P（1，4），
当x=0时，y=3，则C（0，3）；
（2）因为抛物线m₁沿x轴翻折，得到抛物线m₂，
所以y₂=（x-1）²-4，当x=-3时，y₂=（x+1）²-4=（-3-1）²-4=12．
故答案为（1，4），（0，3），12；
（3）存在．
当y₁=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线m₁沿水平方向平移，得到抛物线m₃，
∴CK∥AM，CK=AM，
∴四边形AMKC为平行四边形，
当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，则CK=$\sqrt{10}$，
当抛物线m₁沿水平方向向右平移$\sqrt{10}$个单位，此时K（$\sqrt{10}$，3）；当抛物线m₁沿水平方向向左平移$\sqrt{10}$个单位，此时K（-$\sqrt{10}$，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题．