Question

4．对于给定的抛物线y=x²+ax-3，使实数p，q适合于$\frac{ap}{2}=q$-3．
（1）若（p-a）²≥a²+12，求证：y=x²+px+q与x轴有交点；
（2）证明：抛物线y=-x²-px-q的最大值等于抛物线y=x²+ax-3的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先对（p-a）²≥a²+12进行变形，证得p²-4q≥0即可；
（2）首先利用抛物线的性质，即可求得抛物线y=-x²-px-q的最大值和抛物线y=x²+ax-3的最小值，转化为证明整式的大小关系即可．

解答 证明：（1）∵（p-a）²≥a²+12，
∴p²-2ap+a²≥a²+12，
∴$\frac{ap}{2}$≤$\frac{{p}^{2}}{4}$-3，
∴q-3≤$\frac{{p}^{2}}{4}$-3，
∴p²-4q≥0．
∵抛物线y=x²+px+q，
令y=0，则x²+px+q=0，
∴△=p²-4q，
∴△≥0，
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有交点；
（2）抛物线y=x²-px-q的最大值是$\frac{{p}^{2}-4q}{4}$，
抛物线y=x²+ax-3的最小值是-$\frac{{a}^{2}+12}{4}$，
∵$\frac{ap}{2}$=q-3，
∴（a-p）²=a²-4q+12，
∴（a-p）²≥0，
∴a²+p²-4q+12≥0，
∴p²-4q≥-（a²+12），
∴$\frac{{p}^{2}-4q}{4}$≥-$\frac{{a}^{2}+12}{4}$，
∴抛物线y=-x²-px-q的最大值大于等于抛物线y=x²+ax-3的最小值．

点评 本题考查了二次函数的性质以及抛物线的性质，当二次项系数a＞0时，二次函数有最小值，等于定点的纵坐标；当a＜0时，二次函数有最大值，等于顶点的纵坐标．