Question

4．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 过D点作DF∥BE，则DF=$\frac{1}{2}$BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC=$\frac{3}{2}$AF．

解答 解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD=BE=6，则DF=3，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC=$\frac{3}{2}$AF=$\frac{3}{2}$×3$\sqrt{5}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

故答案为：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．