Question

11．如图，直线y₁=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；
（3）在抛物线上的对称轴上：?是否存在一点M，使|MA-MC|的值最大；?是否存在一点N，使△NCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C两点坐标，设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，转化为解方程组即可．
（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，根据S_{四边形PCDB}=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$PM•CE+$\frac{1}{2}$PM•BN，
构建二次函数，即可解决问题．
（3）①求出直线AC的解析式与对称轴的交点即为点M．
②如图2中，由△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，可得CQ₁=DQ₂=DQ₃=CD，作CE⊥对称轴于E，可得EQ₁=ED=2，推出DQ₁=4，由此即可解决问题．

解答 解：（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，

设M（a，-$\frac{1}{2}$a+2），P（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤x≤4）．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，0），
∵S_{四边形PCDB}=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$PM•CE+$\frac{1}{2}$PM•BN，
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a），
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，
∴a=2时，S_{四边形PCDB的面积最大}=$\frac{13}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴点P坐标为：（2，3），
∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为$\frac{13}{2}$；

（3）如图2中，

∵A（-1，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y=2x+2，直线AC与对称轴的交点即为点M，此时|MA-MC|的值最大，
∴M（$\frac{3}{2}$，5）．
∵抛物线的对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∵C（0，2），
∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵△CDN是以CD为腰的等腰三角形，
∴CN₁=DN₂=DN₃=CD．
如图2所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EN₁=ED=2，
∴DN₁=4．
∴N₁（$\frac{3}{2}$，4），N₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），N₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、最值问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．