Question

16．对于正整数n，定义F（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n＜10}\\{f（n），n≥10}\end{array}\right.$，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=6²=36，F（123）=f（123）=1²+3²=10．规定F₁（n）=F（n），F_k+1（n）=F（F_k（n））．例如：F₁（123）=F（123）=10，F₂（123）=F（F₁（123））=F（10）=1．
（1）求：F₂（4）=37，F₂₀₁₅（4）=26；
（2）若F_3m（4）=89，则正整数m的最小值是6．

Answer 1

分析 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．

解答 解：（1）F₂（4）=F（F₁（4））=F（16）=1²+6²=37；
F₁（4）=F（4）=16，F₂（4）=37，F₃（4）=58，
F₄（4）=89，F₅（4）=145，F₆（4）=26，F₇（4）=40，F₈（4）=16，
通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F₂₀₁₅（4）=26；
（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F₄（4）=89=F₁₈（4），因此3m=18，所以m=6．
故答案为：（1）37，26；（2）6．

点评 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．