题目内容
11．发现问题：如图（1），在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．
我们可以进行以下计算：
由题意可知：∠B=30°，∠C=90°，
可得到：c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
所以a2-b2=（$\sqrt{3}$b）2-b2=2b2=b•c．
即a2-b2=bc．
提出猜想：
对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a2-b2=bc都成立．
验证猜想：
（1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程；
已知：△ABC中，∠A=2∠B，∠A=90°
求证：a2-b2=bc．
（2）（验证一般三角形）如图（3），
已知：△ABC中，∠A=2∠B，
求证：a2-b2=bc．
结论应用：
若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
分析 （1）等腰直角三角形中，∠A=90°，c=b，a=$\sqrt{2}$b，代入a2-b2=bc可以进行验证；
（2）延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形．根据△ACD∽△CBD，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出所求证的结论．
解答 解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=$\sqrt{2}$b，
∴a2-b2=（$\sqrt{2}$b）2-b2=b2=bc；
（2）小明的猜想是正确的．
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，
则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}$，
即$\frac{b}{a}$，
∴a2=b2+bc，
∴a2-b2=bc；
结论应用：
由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2，
则（2n+2）2-（2n-2）2=2n（2n-2），
解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．
点评 本题考查了勾股定理，要根据所给材料进行探究，关键是正确认识等腰直角三角形的边的关系，证明△ACD∽△CBD是解题的关键．
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