题目内容
4．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且满足|a-2|+|b+4|=$-\sqrt{c+3}$，过点C作MN∥x轴，D是MN上一动点．（1）求△ABC的面积；
（2）如图1，若点D的横坐标为-3，AD交OC于E，求点E的坐标；
（3）如图2，若∠BAD=35°，P是AD上的点，Q是射线DM上的点，射线QG平方∠PQM，射线PH平分∠APQ，PF∥QG，请你补全图形，并求$\frac{∠HPF}{∠ADN}$的值．
分析 （1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据三角形面积公式求解；
（2）先确定D点坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，然后计算自变量为0的函数值即可得到E点坐标；
（3）根据题意画出几何图形，设∠PQM=2α，利用平行线的性质可计算出∠APQ=360°-∠BAP-∠PQM=325°-2α，再根据角平分线定义得到∠PQG=$\frac{1}{2}$∠PQM=α，∠APH=∠QPH=$\frac{1}{2}$∠APQ=$\frac{325°}{2}$-α，根据平行线的性质可表示出∠QPF=180°-∠PQG=180°-α，则∠HPF=∠QPF-∠QPH=$\frac{35°}{2}$，加上∠ADN=∠BAD=35°，于是可计算出$\frac{∠HPF}{∠ADN}$=$\frac{1}{2}$；同理可得∠HPF′=180°-∠HPF=$\frac{325°}{2}$，则$\frac{∠HPF′}{∠ADN}$=$\frac{65}{14}$，
解答 解：（1）∵|a-2|+|b+4|+$\sqrt{c+3}$=0，
∴a=2，b=-4，c=-3，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×（2+4）=9；
（2）∵MN∥x轴，C（0，-3），
∴D（-3，-3），
设AD的解析式为y=mx+n，
把A（2，0），D（-3，-3）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{-3m+n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{6}{5}$，
当x=0时，y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{6}{5}$=-$\frac{6}{5}$，
∴E点坐标为（0，-$\frac{6}{5}$）；
（3）
如图，设∠PQM=2α，
∵MN∥AB，
∴∠APQ=360°-∠BAP-∠PQM=360°-35°-2α=325°-2α，
∵射线QG平方∠PQM，射线PH平分∠APQ，
∴∠PQG=$\frac{1}{2}$∠PQM=α，∠APH=∠QPH=$\frac{1}{2}$∠APQ=$\frac{325°}{2}$-α，
∵PF∥QG，
∴∠QPF=180°-∠PQG=180°-α，
∴∠HPF=∠QPF-∠QPH=180°-α-（$\frac{325°}{2}$-α）=$\frac{35°}{2}$，
∵MN∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=35°，
∴$\frac{∠HPF}{∠ADN}$=$\frac{1}{2}$；
同理可得∠HPF′=180°-∠HPF=180°-$\frac{35°}{2}$=$\frac{325°}{2}$，
∴$\frac{∠HPF′}{∠ADN}$=$\frac{\frac{325°}{2}}{35°}$=$\frac{65}{14}$，
即$\frac{∠HPF}{∠ADN}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{65}{14}$．
点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质．对应（3）通过设∠PQM=2α，使其它有关的角容易表示．
E，F分别是?ABCD的边AB，CD上的一点，且DF=BE，O是BD的中点，EF过点O．求证：EF与AC互相平分．| A． | -1 | B． | 0 | C． | 3 | D． | $\sqrt{2}$ |