Question

15．定义：如果两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B
（1）请在图中画出△ABC的三分线，并简单说明你作图方法．
（2）请直接写出两条三分线的长度．

Answer 1

分析 （1）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得图形为三分线；
（2）根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．

解答 解：（1）如图，①作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形△DBC；
②以AD边长画弧，交DC于点E，如图CD、AE就是所求的三分线．

（2）如图，
设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
所以联立得方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2；3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
即三分线长分别是$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了复杂作图以及等腰三角形知识、相似三角形的判定与性质等知识，得出△AEC∽△BDC、△ACD∽△ABC是解题关键．