Question

12．如图，已知E，F分别在正边形ABCD的边BC，CD上，且AE平分∠FAD，求证：BF+DE=AF．

Answer 1

分析 延长FB至G，使BG=DE，连接AG，则BF+DE=GF；先证明△ABG≌△ADE，得出∠G=∠AED，∠BAG=∠DAE，再证明∠FAG=∠G，得出GF=AF，即可得出结论．

解答 证明：延长FB至G，使BG=DE，连接AG，如图所示：
则BF+DE=GF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=∠ABG=90°，AB=AD，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
在△ABG和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABG=∠D}&{\;}\\{BG=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠G=∠AED，∠BAG=∠DAE，
∵AE平分∠FAD，
∴∠FAE=∠DAE，
∴∠FAE=∠BAG，
∴∠FAG=∠BAE=∠AED=∠G，
∴GF=AF，
即BF+DE=AF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．