如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A.D.与y轴的交点为C.且A.对称轴是直线x=l．(1)求二次函数的解析式,(2)若M是第四象限抛物线上一动点.且横坐标为m.设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式.并求出当m为何值时.四边形OCMA的面积最大,(3)设点B是x轴上的点.P是抛物线上的点.是否存在点P.使得以A.B.C.P四点为顶点的四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）．C（0，-3），对称轴是直线x=l．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先利用对称性确定D点坐标，再设交点式y=a（x+2）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）连接AC，根据待定系数法求得直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，过M作MF⊥x轴于F，交CA于E，设M（m，$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3），E（m，$\frac{3}{4}$m-3），则ME=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{2}$m，
根据S=S_△AOC+S_△ACM，得出S=-$\frac{3}{4}$m²+3m+6，根据对称轴方程即可求出m的值；
（3）分①AC是平行四边形的边时，先求出AC的长度，再根据平行四边形的对边相等求出点P的纵坐标，然后利用抛物线解析式计算求出横坐标坐标，从而得解；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出点P的，纵坐标，然后利用抛物线解析式计算求出横坐标坐标，从而得解．

解答解；（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l．
∴D（-2，0），
设二次函数的交点式y=a（x+2）（x-4），
∵C（0，-3），
∴-3=-8a，
∴a=$\frac{3}{8}$
∴二次函数解析式为：y=$\frac{3}{8}$（x+2）（x-4）=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3；
（2）如图2，连接AC，直线AC的解析式y=$\frac{3}{4}$x-3，过M作MF⊥x轴于F，交CA于E，设M（m，$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3），E（m，$\frac{3}{4}$m-3），则ME=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S=S_△AOC+S_△ACM=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×4×EM=6+2（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{2}$m）=-$\frac{3}{4}$m²+3m+6，
∴m=-$\frac{3}{2×（-\frac{3}{4}）}$=2时，s最大．
（3）存在，P（2，-3）或P（1+$\sqrt{17}$，3）或P（1-$\sqrt{17}$，3）；如图3，
①AC是平行四边形的边时，
∵A（4，0）、C（0，-3），
根据题意P的纵坐标为±3，
把y=3代入得3=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
解得x=1±$\sqrt{17}$；
把y=-3代入得-3=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
解得x=0或x=2，
∴P的坐标为（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3）或（2，-3），
②AC是对角线时，∵点B在x轴上，
∴AM∥PC，
∴P的纵坐标为-3，
此时，点P的坐标为（2，-3）；
综上所述，点P的坐标为（1+$\sqrt{17}$，3）或（1-$\sqrt{17}$，3）或（2，-3）．