Question

18．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥BC交AB于E，AH∥DE交BC于H，且∠DAH=∠CAH，连接CE交AD于F，交AH于G．下列结论：①△AEF∽△CEA；②FH∥AC；③若CE⊥AB，则tan∠BAC=2；④若四边形AEDG是菱形，则∠ACB=60°．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由中垂线得出，∠EBC=∠ECB，进而由AH⊥BC，∠DAH=∠CAH，得出，∠ADC=∠ACD，由三角形的外角∠BAD=∠ACE，即结论得证；
②先判断出四边形AEDG是平行四边形，得出DF=AF，再利用中位线得出结论；
③利用等腰三角形的性质，得出DG=EG，DG=CG，再用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即可；
④先由直角三角形的性质，得出HF=HF，从而得出△FDH是等边三角形，即可．

解答 解：①∵AD是中线，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵DE⊥BC交AB于E，AH∥DE，
∴AH⊥BC，
∵∠DAH=∠CAH，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠EBC+∠BAD，∠ACD=∠ACE+∠BCE，
∴∠EBC+∠BAD=∠ACE+∠BCE，
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠AEC=∠AEC，
∴△AEF∽△CEA，即①正确，
②∵点G在边CD的垂直平分线上，
∴∠GDC=∠GCD，
∵∠EBC=∠ECB，
∴∠EBC=∠GDC，
∴AB∥DG，
∵DE∥AH，
∴四边形AEDG是平行四边形，
∴DF=AF，
∵DH=CH，
∴FH∥AC，即：②正确；
③∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵EB=EC，
∴∠DEG=∠BED=45°，
∵AE∥DG，
∴∠DGE=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°，
∴EG=DG=AE，
同理可证：DG=CG，
∴CE=2AE，
∴tan∠BAC=$\frac{CE}{AE}$=2，即：③正确，
④∵四边形AEDG是菱形，
∴AD⊥EG，
∴∠DFC=90°，
∵DH=CH，FH=DH，
∵FD=FH，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠FHD=60°，
∴∠ACD=∠FHD=60°．即：④正确，
故选D．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，直角三角形的性质，中垂线等，解本题的关键是四边形AEDG是平行四边形．