Question

9．如图，正方形ABCD中，AD=8，E是对角线AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，连接EP，EQ，以EP、EQ为邻边作?PEQF，设点P运动的时间为t秒（t＞0）
（1）当t=1时，求PE的长．
（2）当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长．
（3）在整个运动过程中，当?PEQF为菱形时，求t的值（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=4，得出EM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM=$\frac{1}{2}$BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再由勾股定理求出PE即可；
（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC的中点，得出EQ是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=$\frac{1}{2}$AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求出BF的长；
（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作EM⊥AB于M，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD=8，AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EM是△ABC的中位线，
∴EM=$\frac{1}{2}$BC=4，
当t=1时，AP=1，
∴PM=AM-AP=3，
∴PE=$\sqrt{P{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）∵四边形PEQF是平行四边形，
∴PF=EQ，PF∥EQ，
当点F恰好落在线段AB上时，PF⊥BC，
∴EQ⊥BC，
∴Q为BC的中点，
∴EQ是△ABC的中位线，BQ=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴EQ=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴PF=4，
∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，
∴t=4÷2=2，
∴AP=2，
∴BF=AB-AP=PF=2；
（3）当?PEQF为菱形时，PE=PQ，分四种情况：
①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图2所示：
∵PE²=PM²+EM²，EQ²=QN²+EN²，
∴（4-t）²+4²=（4-2t）²+4²，
解得：t=0（舍去），或t=$\frac{8}{3}$（舍去）；
②当2＜t≤4时，
同①得：（4-t）²+4²=（2t-4）²+4²，
解得：t=0（舍去），或t=$\frac{8}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$；
③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，如图3所示：
∵PE²=PM²+EM²，EQ²=QN²+EN²，
∴（t-4）²+4²=（12-2t）²+4²，
解得：t=$\frac{16}{3}$，或t=8（舍去），
∴t=$\frac{16}{3}$；
④当6＜t≤8时，
同③得：（t-4）²+4²=（2t-12）²+4²，
解得：t=$\frac{16}{3}$（舍去），或t=8（舍去）；
综上所述：在整个运动过程中，当?PEQF为菱形时，t的值为$\frac{8}{3}$s或$\frac{16}{3}$s．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．