Question

1．已知点P是直线y=（2m+1）x+4m+4（m是常数）上一点，试探究当m取何值时，线段PO≥2$\sqrt{2}$（画图并写出解题思路）

Answer 1

分析 根据一次函数解析式利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，结合勾股定理可求出AB的长度，利用面积法结合PO≥2$\sqrt{2}$可得出关于m的一元二次不等式，解之即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=4m+4，
∴直线与y轴的交点A为（0，4m+4），
∴OA=|4m+4|；
当y=（2m+1）x+4m+4=0时，x=-$\frac{4m+4}{2m+1}$，
∴直线与x轴的交点B为（-$\frac{4m+4}{2m+1}$，0）
∴OB=|$\frac{4m+4}{2m+1}$|，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=|$\frac{4m+4}{2m+1}$|$\sqrt{（2m+1）^{2}+1}$．
∵PO≥2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OA•OB}{AB}$≥2$\sqrt{2}$，
∴OA•OB≥2$\sqrt{2}$AB，即|$\frac{（4m+4）^{2}}{2m+1}$|≥2$\sqrt{2}$|$\frac{4m+4}{2m+1}$|$\sqrt{（2m+1）^{2}+1}$，
整理得：4m²+8m+4≥8m²+8m+4，
解得：m=0．
∴当m=0时，线段PO≥2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用面积法结合PO≥2$\sqrt{2}$找出关于m的一元二次不等式是解题的关键．